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算法概论:多项式归约、P、NP、NP全部题目

2021-10-06 163 分享
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  设计一个函数f(x)把问题A的输入转换成问题B的一个输入这样就能用问题B的解法来求解。输出线;

  转换函数f(x)的设计必须要保证问题B的输出结果和相应的问题A上的答案保持一致。

  归约是指A的输入x经过f(x)转换成B的输入x’所谓多项式归约是指转换函数f(x)不能太复杂需要在多项式时间内完成。如果是指数级或其他复杂度就没有意义了。

  A多项式归约B意味着问题B至少和求解问题A一样难意义跟小于等于号类似。

  这里举一个例子一个问题是独立集问题一个问题是顶点覆盖问题。

  这两个问题之间可以相互归约顶点覆盖问题可以看做集合覆盖问题的特殊情况。

  即U是所有边的集合每个子集相当于一个顶点子集内是该顶点关联的边。

  这个问题非常复杂所以有一个简化的问题每个子句含有三个布尔变量求公式的可满足解。 这就是3-SAT可满足问题。

  两个问题看起来差距很大不是看起来好吧但其实也是可以相互归约的。

  具体怎么编码呢通过布尔公式构造一个图图怎么构造呢公式是由多个子句构成每个子句构成一个子图所以每个子图是一个三角形有三个顶点对应三个布尔变量。将每个变量和它的否定之间加一条边这样就把边加上去了。

  寻找可满足解实际就是独立集问题独立集问题中的k取公式中子句的数量通过这样一个构造方式3-SAT问题就被归约成了一个图的独立集问题。

  我们需要证明这个归约过程是有效的证明S如果是图里的一个独立集—可以找到一个可满足解

  S如果是一个独立集那么S在这个图里每个三角形里最多包含一个顶点否则不是独立集。将所有这些点设置为true则这个公式一定可以满足。

  反过来如果是一个可满足解在每个子句里选择一个为true的文字量将三角形里对应的点选出来这些点union起来就是一个独立集。

  有了这个归约技术以后则可以进行问题之间难度的比较关系。归约满足传递性。

  weixin_47164846:你好,你解决了吗,我也遇到这个问题,和你一样

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